奇书面世40年︰《Gödel,Escher,Bach》的知识

1979年4月,《哥德尔、艾雪、巴哈︰一条永恆的金带》[注]横空出世,这是作者侯世达首本着作,也是他的成名作。此书所涉猎题材之广、以虚构人物对话穿插的写作手法,堪称一部奇书。

奇书面世40年︰《Gödel,Escher,Bach》的知识
《GEB》20周年版封面

书名是三位人物︰

哥德尔 — — 逻辑学家,20 世纪初数理逻辑发展重要推手之一,除了以他命名的「哥德尔不完备定理」外,他对数理逻辑多个领域亦有贡献。

艾雪 — — 艺术家,擅长版画,内容以密铺平面图案、不可能存在的物件/画面及数学主题见称,作品自成一格,广受数学家欢迎。

巴哈 — — 巴洛克时期作曲家,作品繁多,种类广泛,结构複杂严谨,音乐史上最重要作曲家之一。

然而正如侯世达在此书 20 周年纪念版的序言所指出,《GEB》经常引起各种误解,例如以为此书介绍哥德尔、艾雪及巴哈三人,或者说明数学、艺术及音乐之间的关联等。他在该篇序言试图说明这本书的主旨︰

“用一句话说,《GEB》是旨在解释为何「具生命的个体会由无生命的物质产生」一次非常个人的尝试。甚幺是「自我」,以及为何「自我」能从像一块石头、一滩水般毫无自我意识的东西中产生? ”

侯世达在其「个人尝试」中,透过 777 页篇幅横跨了多个领域的内容,包括数理逻辑的形式系统、非欧几何历史、语法结构、费曼图、程式语言、人工智慧、大脑、遗传密码等等,而贯穿全书的主题则是递归结构、自我指涉以及「怪圈」——他在书中定义、不断「向上」后会回到原处的层级结构。

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M. C. Escher, Ascending and Descending

据侯世达的自述,他最初没想到要写一本这幺厚的书,只想写一封信。

早于青少年时期,侯世达读到科学哲学家内格尔及数学家纽曼合着的小书《哥德尔的证明》,燃起他对符号逻辑的兴趣。其后他在史丹福大学读数学,更进了加州大学柏克莱分校的研究院读数学,修了几个高等逻辑课程,但对于技术性的内容不感兴趣甚至觉得失望,令他失去热情,最终退学,改到俄勒冈大学读物理 — — 顺带一提,侯世达父亲是1961年诺贝尔物理学奖得主之一。

几年后他在大学书店中见到哲学家德隆所写的《数理逻辑概貌》,读后重燃他对哥德尔定理的热情。那时侯世达对自己的物理学研究及人生路向感到迷茫,同年7月决定驾车穿州过省寻找新生活。驶到爱达荷州的时候,他的汽车引擎需要维修,等待期间他去了爱达荷大学图书馆,寻找德隆那本书的文献目录中跟哥德尔证明有关的文章,并影印了其中几篇,每晚睡前阅读。

几日后一个下午,侯世达心血来潮想写封信给老朋友波宁格,几小时后他发现,虽然已经写了约三十页,但这仅是他想说的内容的一半,于是他觉得应该写本小册子。

在纽约留了一阵子后,侯世达回到俄勒冈大学完成学业,他开了一门讨论哥德尔定理的课,学生来自不同学系,包括艺术史、政治科学和艺术等。1973年的秋天,侯世达尝试继续写他的「小册子」 — — 当时暂订的标题为《哥德尔定理与人脑》,艾雪及巴哈尚未出现。他花了一个月写完初稿,那时候他以为已经完成大部分工作。

直到某天,他突然灵感涌现,以对话形式写了一个故事。故事关于一本无比庞大的书,书中描述了爱因斯坦大脑每个神经元的资讯。其中一部分对话是两个角色互相猜想对方会说的话,写完这一段后他突然想到赋格曲,巴哈于此刻开始进入《GEB》。这段对话最终没在《GEB》出现,但收录于侯世达及哲学家丹尼特合编的《心我论》之中。

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M. C. Escher, Relativity

1974年侯世达换了第四次博士论文指导导师,他知道如果想取得博士学位,他必须在那时候全心全意做研究,直到1975年底完成博士论文前,他都禁止自己接触《GEB》的手稿。在写完论文后,他认为自己无法成为优秀的物理学家,在父母的经济支持下,他回到史丹福尝试用两年时间转向研究人工智慧,同时完成那本「小册子」。在这个阶段,《GEB》的结构才开始成形。

《GEB》全书由内文、封面以至排版均由侯世达一手包办,不少插图也岀自他手笔。就在他重写自己的「小册子」的时候,已开始使用友人开发的早期文字处理程式TV-Edit 写作。他获得 Basic Books 同意岀版后,需要把电脑印出来的草稿排好版,再拿去印刷。他使用友人的排版软体输出档案 — — 注意那是1978年,档案以打孔的纸带储存 — — 走到另一大楼的打孔机处取得档案,再借用《史丹福日报》的照相排版机处理。

到侯世达几乎完成的时候,才发现机器的问题使他前功尽废,但当时暑假即将完结,开学后他需要到印第安纳大学授课。幸好当时他的课堂都在星期二至星期四,所以他每个星期四下午都搭飞机去史丹福,排版至星期一下午回印第安纳。这次意外令侯世达须额外花大量时间金钱重新排版,也令《GEB》面世时间推迟几个月,但至少让他可修改原稿中的错误。

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M. C. Escher, Drawing Hands

《GEB》有趣之处不单在于涉猎广泛,其写作方式也独树一帜。全书共20章,几乎每章之间均穿插一段侯世达虚构的对话,内容或多或少都跟其后一章有关。

对话主要角色为阿基里斯及乌龟 — — 在着名的芝诺悖论中,古希腊哲学家芝诺尝试「论证」阿基里斯永远追不上跑得较慢的乌龟;1895年,《爱丽丝梦游仙境作者》兼逻辑学家卡罗在哲学期刊《心灵》发表了一篇题为〈乌龟跟阿基里斯说了甚幺〉的重要论文,透过虚构两个角色的对话探讨一个逻辑哲学问题;侯世达正是借用了卡罗设计的两个角色,更把该论文用作书中第二段对话。

当中有些对话章节的形式及标题均参考了巴哈的乐曲,如〈逆行卡农〉及〈六声部里切尔卡〉,对话内容更不乏大量文字游戏,例如使用谐音、缩写等,可谓彩蛋处处。其中一个我第一次读的时候未有留意、最近重读才发现的文字游戏,是在书中首段对话之中,阿基里斯记错芝诺是禅宗大师,更说了「风动幡动」的公案,被乌龟更正后阿基里斯说他一直记得「六祖是芝诺」 — — 我今次查了六祖惠能的英文译名,才发现透过日语转译的话是跟「Zeno」相似的「Enō」。

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M. C. Escher, Crab Canon

由于对话透过故事引介其后章节的内容,侯世达用上大量类比,让读者先从对话中掌握一些重点。例如在讨论着名的哥德尔不完备定理之前,侯世达安排乌龟向阿基里斯讲述一个故事︰

螃蟹喜欢各种机器,某天买了一部唱片机,宣称那是能够重现任何声音的「完美唱片机」。乌龟为了说服螃蟹没有这种机器,刻意灌录了一张无法在那唱片机播出的唱片 — — 唱片播放期间会破坏唱片机。不服气的螃蟹于是再买一部唱片机,但又被乌龟送来的唱片破坏。这样来回几次,每次螃蟹买新唱片机后,乌龟都会按照其唱片机的设计灌录一张唱片,成功破坏唱片机。最后螃蟹设计了一部「终极唱片机」…

侯世达以螃蟹的「唱片机」比喻算术系统,而乌龟的唱片则是「哥德尔句」G — — 在系统中无法证明又无法否证的公式 — — 让读者掌握哥德尔不完备定理的内容。当然,比喻不能代替技术细节,侯世达在书中颇为详细解释甚幺是形式系统,并逐步建立算术的形式系统,示範如何在这个系统中证明定理,最后解释如何证明哥德尔不完备定理。对于没有数学根基的读者而言,我猜侯世达已经解释得非常清楚。

《GEB》没有提供哥德尔不完备定理的完整证明,因为当中包括不少繁琐细节,然而要大概掌握证明方法不算困难。侯世达之所有花如此多篇幅解释这个证明,主要是哥德尔证明的核心有个概念上非常巧妙的想法︰把算术系统的符号编码,将系统中的语句变成数字。由于系统本身处理的对象正是数字,经过编码后这个系统能够迂迴地自我指涉,可说是打通了「数学」及「后设数学」两个层次。

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M.C. Escher, Reptiles

哥德尔定理是数理逻辑史上一个颇为令人意外的结果,描述了数学系统在证明方面的限制,不少人会因为此定理的名字和内容而望文生义,因此不完备定理经常遭曲解、滥用及错误引伸至不适用的领域。关于这一点,读者不妨参考数学家费兰辛所着的《哥德尔定理︰使用与滥用的不完整指南》中有大量例子——书中唯一提及《GEB》之处,是在讨论「根据哥德尔定理,我们不可能了解自己的心灵」这类说法时,作者指出侯世达有类似段落,但他明确指出是以不完备定理作为类比,而非借题发挥。

不完备定理及其证明也是「可计算性理论」发展的基石之一,可计算性理论又称「递归论」,是现代电脑科学的源头。哥德尔发表证明后不久,图灵提出「图灵机」的概念,为「演算法」此概念提供广为接受的严格形式定义,以及证明了「通用图灵机」存在,为电脑的出现奠定理论基础。正因如此,《GEB》有若干介绍电脑架构、程序语言等的段落,40年前电脑尚未普及,读者未必接触过电脑,阅读经验恐怕相当不同。

侯世达亦在《GEB》第13章设计了两种简单的程式语言Bloop及Floop来说明「原始递归函数」及「递归函数」的分别。这一章之前的对话中,乌龟告诉阿基里斯一位作者希望写一段要读者搜寻结尾的对话——意思是,故事结束后仍会有一段看似相关、实质无关的文字,需要读者自行判断在何处结束——这个想法刚好对应之后那章的内容,而这段对话的形式更配合内容,在结束后又「延续」了一小段。

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M. C. Escher, Print Gallery

《GEB》探讨意识如何从大脑中产生,又触及数学、电脑等问题,少不免花点章节介绍当时的人工智慧进展。在第19章最后,侯世达提出了10条关于人工智慧的问题及推测——他认为那只是个人见解,故不称之为「答案」。撇除了错误预测「未来不会有能胜过所有人的象棋程式」外,他在《GEB》20周年版的序言中表示,那几页的预测是他仍然抱持的哲学信念。

虽说已经是20年前的事,但按照《大西洋》于2013年的访问,侯世达对人工智慧领域的看法恐怕没有太大改变——他跟主流的研究早已分道扬镳,他的兴趣始终是研究并了解人类心智及思考,而学界主流则着手建立实用的系统,尝试逐点解决较简单的问题。另一篇侯世达去年批评 Google 翻译的文章同样可见到这个分歧。

侯世达跟他的研究小组在1995年曾出版《流体概念与创意类比︰思想基本机制的电脑模型》,透过类比去探讨「智慧」这回事,不过我未读过这本书,而且对人工智慧发展未够了解,无法评价侯世达的研究方向。

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M. C. Escher, Hand with Reflecting Sphere

虽然侯世达抱怨不少读者误解《GEB》要旨,但我认为这实在怪不了读者。毕竟全书厚达777页,我曾经跟几位前同事办读书组,好像只读到一百多页,如果本身对数学、逻辑认识不深又兴趣不大的话,的确可能在阅读初段已被符号吓怕。即使能够读到大半本,中途总会有觉得较为沈闷的章节,而且除非阅读神速又记忆力惊人,否则难以记住那幺丰富的内容。读到最后,忘记了较早章节的部分内容实属正常。

读完《GEB》本身已经是个挑战,能够好好把握侯世达的想法更难。何况很多红极一时的着作都是谈的人多读的人少,只靠书皮学自然额外产生大量误读。这一点,我猜侯世达也很了解。

侯世达在2007年出版的《我是个怪圈》同样探讨自我、意识如何形成等问题,讨论哲学问题同时渗入不少个人经历,可视为《GEB》面世近30年后之续作,而且方向较明确、更易明白——侯世达书写《我是个怪圈》的时候,经验远比他写《GEB》时丰富——还有就是没那幺厚。假如未能读完《GEB》,不妨尝试读风格有别的《我是个怪圈》;但读过了《GEB》再读后者,相信都不会失望。

反过来说,这是否代表只读《我是个怪圈》就够呢?又显然不是,两本书差异太大,阅读《GEB》时跟随阿基里斯和乌龟等角色在不同知识领域游蕩、探索的经验实在难以替代,能够接触一本这样的奇书,何其有幸。

注︰商务印书馆在1996年曾出版简体中文译本,书名为《哥德尔、埃舍尔、巴赫:集异璧之大成》,其中「集异璧」乃「GEB」的谐音。本文所有书名以英文为準,部分中文书名是我翻译,有些则是参考现有译本,但建议读原文。

后记︰本来应在4月写完此文,可是我在重读完《GEB》后又重读《我是个怪圈》,另外受拖延症及一些意外的事情影响,延至5月才写完。但根据《GEB》中的「侯世达定律」︰

”永远需要比你所预计更长的时间 — — 即使已考虑到侯世达定律。“

迟了点完成也很合理吧。

原文见作者 Medium。

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